SOAL DAN PMBAHASAN
(TURUNAN)
(TURUNAN)
1. Jika f(x) = (2x – 1)2 (x + 2), maka
f‘(x) = …
A. 4(2x – 1)(x + 3)
B. 2(2x – 1)(5x + 6)
C. (2x – 1)(6x + 5)
D. (2x – 1)(6x + 11)
E. (2x – 1)(6x + 7)
A. 4(2x – 1)(x + 3)
B. 2(2x – 1)(5x + 6)
C. (2x – 1)(6x + 5)
D. (2x – 1)(6x + 11)
E. (2x – 1)(6x + 7)
PEMBAHASAN :
INGAT : f(x) = u.v
f'(x) = u’v + uv’
misal : u(x) = (2x – 1)2 \Rightarrow u'(x) = 2(2x – 1)(2)
v(x) = x + 2 \Rightarrow v'(x) = 1
f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)2)(1)
= (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)2
= 8x2 + 12x – 8 + 4x2 – 4x + 1
= 12x2 + 8x – 7
= (2x – 1)(6x + 7)
misal : u(x) = (2x – 1)2 \Rightarrow u'(x) = 2(2x – 1)(2)
v(x) = x + 2 \Rightarrow v'(x) = 1
f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)2)(1)
= (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)2
= 8x2 + 12x – 8 + 4x2 – 4x + 1
= 12x2 + 8x – 7
= (2x – 1)(6x + 7)
JAWABAN : E
2. Turunan
pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = \sqrt{3x^2+5} adalah f
‘(x), maka f‘(x) = …
A. \frac{3x}{\sqrt{3x^2+5}}
B. \frac{3}{\sqrt{3x^2+5}}
C. \frac{6}{\sqrt{3x^2+5}}
D. \frac{x}{\sqrt{3x^2+5}}
E. \frac{6x}{\sqrt{3x^2+5}}
B. \frac{3}{\sqrt{3x^2+5}}
C. \frac{6}{\sqrt{3x^2+5}}
D. \frac{x}{\sqrt{3x^2+5}}
E. \frac{6x}{\sqrt{3x^2+5}}
PEMBAHASAN :
\dfrac{f(x)}{dx} = \dfrac{\sqrt{3x^2+5}}{dx}
= \dfrac{(3x^2 + 5)^{1/2}}{dx}
= \dfrac{1}{2} (3x^2 + 5)^{-1/2} \dfrac{3x^2}{dx}
= \dfrac{1}{2} (3x^2 + 5)^{-1/2} 6x
= \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+5}}
= \dfrac{1}{2} (3x^2 + 5)^{-1/2} \dfrac{3x^2}{dx}
= \dfrac{1}{2} (3x^2 + 5)^{-1/2} 6x
= \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+5}}
JAWABAN : A
3. Diketahui
f(x) = \sqrt{4x^2+9}, Jika f‘(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai
f‘(2) = …
A. 0,1
B. 1,6
C. 2,5
D. 5,0
E. 7,0
B. 1,6
C. 2,5
D. 5,0
E. 7,0
PEMBAHASAN :
f(x) = \sqrt{4x^2+9}
= (4x2+9)1/2
f'(x) = 1/2 (4x2+9)-1/2 (8x)
= 4x (4x2+9)-1/2
= \frac{4x}{\sqrt{4x^2+9}}
f'(2) = \frac{4(2)}{\sqrt{4(2)^2+9}}
= \frac{8}{\sqrt{25}}
= 1.6
= (4x2+9)1/2
f'(x) = 1/2 (4x2+9)-1/2 (8x)
= 4x (4x2+9)-1/2
= \frac{4x}{\sqrt{4x^2+9}}
f'(2) = \frac{4(2)}{\sqrt{4(2)^2+9}}
= \frac{8}{\sqrt{25}}
= 1.6
JAWABAN : B
4. Diketahui
f(x) = \frac{2x+4}{1+\sqrt{x}} . Nilai f‘(4) = …
A. 1/3
B. 3/7
C. 3/5
D. 1
E. 4
B. 3/7
C. 3/5
D. 1
E. 4
PEMBAHASAN :
f(x) = \frac{u}{v}
f'(x) = \frac{u'.v-u.v'}{v^2}
misal : u(x) = 2x + 4 \Rightarrow u'(x) = 2
v(x) = 1 + \sqrt{x} \Rightarrow v'(x) = 1/2 x-1/2
f'(x) = \frac{(2)(1+\sqrt{x})-(2x+4)(1/2.x^{-1/2})}{(1+\sqrt{x})^2}
f'(4) = \frac{2(1+\sqrt{4})-(2(4)+4)(1/2.(4)^{-1/2})}{(1+\sqrt{4})^2}
= \frac{2(1+(2))-(8+4)(1/2.(1/2))}{(1+2)^2}
= \frac{2(3)-(12)(1/4)}{(3)^2}
= \frac{6-3}{9}
= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
f'(x) = \frac{u'.v-u.v'}{v^2}
misal : u(x) = 2x + 4 \Rightarrow u'(x) = 2
v(x) = 1 + \sqrt{x} \Rightarrow v'(x) = 1/2 x-1/2
f'(x) = \frac{(2)(1+\sqrt{x})-(2x+4)(1/2.x^{-1/2})}{(1+\sqrt{x})^2}
f'(4) = \frac{2(1+\sqrt{4})-(2(4)+4)(1/2.(4)^{-1/2})}{(1+\sqrt{4})^2}
= \frac{2(1+(2))-(8+4)(1/2.(1/2))}{(1+2)^2}
= \frac{2(3)-(12)(1/4)}{(3)^2}
= \frac{6-3}{9}
= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
JAWABAN : A
5. Persamaan
garis singgung pada kurva y = –2x2 + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13
= 0 adalah …
A. 2x + y + 15 = 0
B. 2x + y – 15 = 0
C. 2x – y – 15 = 0
D. 4x – 2y + 29 = 0
E. 4x + 2y + 29 = 0
B. 2x + y – 15 = 0
C. 2x – y – 15 = 0
D. 4x – 2y + 29 = 0
E. 4x + 2y + 29 = 0
PEMBAHASAN :
m1 = y'(x) = -4x + 6
x – 2y + 13 = 0
x + 13 = 2y
1/2 x + 13/2 = y
m2 = ½
karena garis singgung ini tegak lurus dengan garis “x – 2y + 13 = 0” maka :
m1.m2 = -1
m1(1/2) = -1
m1 = -2
-4x + 6 = -2
8 = 4x
2 = x
Substitusi nilai “x = 2” ke persamaan kurva “y = –2x2 + 6x + 7″ sehingga diperoleh :
y(2) = –2(2)2 + 6(2) + 7
= -8 + 12 + 7
= 11
Persamaan Umum Garis Singgung : (y – y1) = m(x – x1)
(y – 11) = -2(x – 2)
(y – 11) = -2x + 4
y + 2x – 15 = 0
x – 2y + 13 = 0
x + 13 = 2y
1/2 x + 13/2 = y
m2 = ½
karena garis singgung ini tegak lurus dengan garis “x – 2y + 13 = 0” maka :
m1.m2 = -1
m1(1/2) = -1
m1 = -2
-4x + 6 = -2
8 = 4x
2 = x
Substitusi nilai “x = 2” ke persamaan kurva “y = –2x2 + 6x + 7″ sehingga diperoleh :
y(2) = –2(2)2 + 6(2) + 7
= -8 + 12 + 7
= 11
Persamaan Umum Garis Singgung : (y – y1) = m(x – x1)
(y – 11) = -2(x – 2)
(y – 11) = -2x + 4
y + 2x – 15 = 0
JAWABAN : B
6. Luas
sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm2. Agar volume kotak
tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm.
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 16
B. 8
C. 10
D. 12
E. 16
PEMBAHASAN :
misal kita anggap tinggi kotak adalah t dan panjang sisi
alas adalah s.
Luas kotak tanpa tutup = Luas alas (persegi) + (4 x luas sisi)
432 = s2 + (4.s.t)
432 = s2 + 4ts
Karena yang diminta dalam soal adalah panjang sisi persegi, maka kita buat persamaan dalam variable s.
432 – s2 = 4ts
108/s – s/4 = t
Volume = v(x) = s2t
= s2(108/s – s/4)
= 108s – s3/4
Agar volume kotak maksimum maka :
v'(x) = 0
108 – 3s2/4 = 0
108 = 3s2/4
144 = s2
12 = s
Luas kotak tanpa tutup = Luas alas (persegi) + (4 x luas sisi)
432 = s2 + (4.s.t)
432 = s2 + 4ts
Karena yang diminta dalam soal adalah panjang sisi persegi, maka kita buat persamaan dalam variable s.
432 – s2 = 4ts
108/s – s/4 = t
Volume = v(x) = s2t
= s2(108/s – s/4)
= 108s – s3/4
Agar volume kotak maksimum maka :
v'(x) = 0
108 – 3s2/4 = 0
108 = 3s2/4
144 = s2
12 = s
JAWABAN : D
7. Garis singgung pada kurva y = x2 – 4x
+ 3 di titik (1, 0) adalah …
A. y = x – 1
B. y = –x + 1
C. y = 2x – 2
D. y = –2x + 1
E. y = 3x – 3
B. y = –x + 1
C. y = 2x – 2
D. y = –2x + 1
E. y = 3x – 3
PEMBAHASAN :
m = y’ = 2x – 4
substitusi nilai “x = 1”
m = 2(1) – 4
= -2
Persamaan umum garis singgung : (y – y1) = m(x – x1)
(y – 0) = -2(x – 1)
y = -2x + 2
substitusi nilai “x = 1”
m = 2(1) – 4
= -2
Persamaan umum garis singgung : (y – y1) = m(x – x1)
(y – 0) = -2(x – 1)
y = -2x + 2
JAWABAN :
8. Grafik
fungsi f(x) = x3 + ax2 + bx + c hanya turun pada interval –1 < x < 5.
Nilai a + b = …
A. – 21
B. – 9
C. 9
D. 21
E. 24
B. – 9
C. 9
D. 21
E. 24
PEMBAHASAN :
f'(x) < 0
3x2 + 2ax + b < 0
Karena turun pada interval –1 < x < 5, itu artinya HP dari f'(x) adalah x1 = -1 atau x2 = 5. Jadi
f'(x) = (x + 1)(x – 5)
= x2 – 4x – 5
3x2 + 2ax + b = 3(x2 – 4x – 5)
3x2 + 2ax + b = 3x2 – 12x – 15
2a = -12 \Rightarrow a = -6
b = -15
a + b = -6 + (-15) = -21
3x2 + 2ax + b < 0
Karena turun pada interval –1 < x < 5, itu artinya HP dari f'(x) adalah x1 = -1 atau x2 = 5. Jadi
f'(x) = (x + 1)(x – 5)
= x2 – 4x – 5
3x2 + 2ax + b = 3(x2 – 4x – 5)
3x2 + 2ax + b = 3x2 – 12x – 15
2a = -12 \Rightarrow a = -6
b = -15
a + b = -6 + (-15) = -21
JAWABAN : A
9. Ditentukan f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x. Fungsi f naik dalam interval...
A.
−1 < x < 2
B. 1 < x < 2
C. −2 < x < −1
D. x < −2 atau x > −1
E. x < 1 atau x > 2
B. 1 < x < 2
C. −2 < x < −1
D. x < −2 atau x > −1
E. x < 1 atau x > 2
Pembahasan :
f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x
f'(x) = 6x2 − 18x + 12
f(x) naik → f'(x) > 0
6x2 − 18x + 12 > 0
x2 − 3x + 2 > 0
(x − 1)(x − 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda">" maka
x < 1 atau x > 2
f'(x) = 6x2 − 18x + 12
f(x) naik → f'(x) > 0
6x2 − 18x + 12 > 0
x2 − 3x + 2 > 0
(x − 1)(x − 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda">" maka
x < 1 atau x > 2
Jawaban : E
10. EBT 2002 Nilai maksimum dari fungsi
f(x) = ⅓ x3 – 3/2 x2 + 2x + 9 pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah...
A.
9 2/3
B. 9 ⅚
C. 10
D. 10 ½
E. 10 ⅔
B. 9 ⅚
C. 10
D. 10 ½
E. 10 ⅔
Pembahasan :
f(x) = ⅓ x3 – 3/2 x2 + 2x + 9
f'(x) = x2 − 3x + 2
Nilai maks/min berpotensi terjadi pada nilai-nilai stasioner atau nilai fungsi pada ujung-ujung interval.
f(x) stasioner → f'(x) = 0
x2 − 3x + 2 = 0
(x − 1)(x − 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Nilai stasioner :
f(1) = ⅓ (1)3 – 3/2 (1)2 + 2(1) + 9 = 9 ⅚
f(2) = ⅓ (2)3 – 3/2 (2)2 + 2(2) + 9 = 9 ⅔
Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f'(x) = x2 − 3x + 2
Nilai maks/min berpotensi terjadi pada nilai-nilai stasioner atau nilai fungsi pada ujung-ujung interval.
f(x) stasioner → f'(x) = 0
x2 − 3x + 2 = 0
(x − 1)(x − 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Nilai stasioner :
f(1) = ⅓ (1)3 – 3/2 (1)2 + 2(1) + 9 = 9 ⅚
f(2) = ⅓ (2)3 – 3/2 (2)2 + 2(2) + 9 = 9 ⅔
Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(0) = ⅓(0)3 – 3/2(0)2 + 2(0) + 9 = 9
f(3) = ⅓(3)3 – 3/2(3)2 + 2(3) + 9 = 10 ½
Dari nilai-nilai yang diperoleh, maka nilai maksimum f(x) pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah 10 ½
f(3) = ⅓(3)3 – 3/2(3)2 + 2(3) + 9 = 10 ½
Dari nilai-nilai yang diperoleh, maka nilai maksimum f(x) pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah 10 ½
Jawaban : D
Fungsi f(x) = x3 + 3x2 − 9x − 7 turun pada interval...
A. 1 < x < 3
B. −1 < x < 3
C. −3 < x < 1
D. x < −3 atau x > 1
E. x < −1 atau x > 3
A. 1 < x < 3
B. −1 < x < 3
C. −3 < x < 1
D. x < −3 atau x > 1
E. x < −1 atau x > 3
Pembahasan :
f(x) = x3 + 3x2 − 9x – 7
f'(x) = 3x2 + 6x – 9
f(x) turun → f'(x) < 0
3x2 + 6x − 9 < 0
x2 + 2x − 3 < 0
(x + 3)(x − 1) = 0
x = −3 atau x = 1
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−3 < x < 1
f(x) = x3 + 3x2 − 9x – 7
f'(x) = 3x2 + 6x – 9
f(x) turun → f'(x) < 0
3x2 + 6x − 9 < 0
x2 + 2x − 3 < 0
(x + 3)(x − 1) = 0
x = −3 atau x = 1
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−3 < x < 1
Jawaban : C
2. 12. UAN
2003
Turunan pertama dari f(x) = sin2(2x−3) adalah f'(x) = ...
A. 2 cos(4x−6)
B. 2 sin(4x−6)
C. −2 cos(4x−6)
D. −2 sin(4x−6)
E. 4 sin(2x−3)
Turunan pertama dari f(x) = sin2(2x−3) adalah f'(x) = ...
A. 2 cos(4x−6)
B. 2 sin(4x−6)
C. −2 cos(4x−6)
D. −2 sin(4x−6)
E. 4 sin(2x−3)
Pembahasan :
f(x) = sin2(2x−3)
f'(x) = 2 sin2-1(2x−3) cos(2x−3) 2
f'(x) = 2. 2 sin(2x−3) cos(2x−3)
f'(x) = 2. sin 2(2x−3)
f'(x) = 2 sin (4x−6)
f(x) = sin2(2x−3)
f'(x) = 2 sin2-1(2x−3) cos(2x−3) 2
f'(x) = 2. 2 sin(2x−3) cos(2x−3)
f'(x) = 2. sin 2(2x−3)
f'(x) = 2 sin (4x−6)
Jawaban : B
3. 13. UN 2004
Turunan fungsi yang dinyatakan dengan f(x) = x−5/x+5 adalah f'(x) = ...
Turunan fungsi yang dinyatakan dengan f(x) = x−5/x+5 adalah f'(x) = ...
A.
−10/(x+5)2
B. 5/(x+5)2
C. 10/(x+5)2
D. 5/(x−5)2
E. 10/(x−5)2
B. 5/(x+5)2
C. 10/(x+5)2
D. 5/(x−5)2
E. 10/(x−5)2
Pembahasan :
f(x) = x−5/x+5
u = x − 5 → u' = 1
v = x + 5 → v' = 1
f'(x) = u′v−uv′/v2
f'(x) = 1(x+5)−(x−5)1/(x+5)2
f'(x) = x+5−x+5/(x+5)2
f'(x) = 10/(x+5)2
u = x − 5 → u' = 1
v = x + 5 → v' = 1
f'(x) = u′v−uv′/v2
f'(x) = 1(x+5)−(x−5)1/(x+5)2
f'(x) = x+5−x+5/(x+5)2
f'(x) = 10/(x+5)2
Jawaban : C
4. 14. UN
2004
Turunan pertama dari y = cos2(2x−π) adalah y' = ...
A. −2 sin(4x−2π)
B. − sin(4x−2π)
C. −2 sin(2x−π) cos(2x−π)
D. 4 sin(2x−π)
E. 4 sin(2x−π) cos(2x−π)
Turunan pertama dari y = cos2(2x−π) adalah y' = ...
A. −2 sin(4x−2π)
B. − sin(4x−2π)
C. −2 sin(2x−π) cos(2x−π)
D. 4 sin(2x−π)
E. 4 sin(2x−π) cos(2x−π)
Pembahasan :
y = cos2(2x−π)
y' = 2 cos2-1(2x−π) . −sin(2x−π) 2
y' = −2. 2 sin(2x−π) cos(2x−π)
y' = −2. sin 2(2x−π)
y' = −2 sin(4x−2π)
y' = 2 cos2-1(2x−π) . −sin(2x−π) 2
y' = −2. 2 sin(2x−π) cos(2x−π)
y' = −2. sin 2(2x−π)
y' = −2 sin(4x−2π)
Jawaban : A
5. 15. UN
2005
Turunan dari f(x)=√cos2(3x2+5x) adalah f'(x) = ...
Turunan dari f(x)=√cos2(3x2+5x) adalah f'(x) = ...
A.
⅔ cos-⅓ (3x² + 5x) sin(3x² + 5x)
B. ⅔(6x+5) cos-⅓(3x² + 5x)
C. −⅔cos-⅓(3x² + 5x) sin(3x² + 5x)
D. −⅔ (6x+5) tan(3x²+5x)3√cos2(3x2+5x)
E. ⅔ (6x+5) tan(3x²+5x)3√cos2(3x2+5x)
B. ⅔(6x+5) cos-⅓(3x² + 5x)
C. −⅔cos-⅓(3x² + 5x) sin(3x² + 5x)
D. −⅔ (6x+5) tan(3x²+5x)3√cos2(3x2+5x)
E. ⅔ (6x+5) tan(3x²+5x)3√cos2(3x2+5x)
Pembahasan :
f(x) = cos ⅔(3x²+5x)
f'(x) = ⅔cos-⅓(3x²+5x). −sin(3x²+5x) (6x+5)
⇒ −⅔ (6x+5) sin(3x2+5x)/cos⅓ (3x2+5x)
⇒ −⅔ (6x+5) sin(3x2+5x)/cos⅓ (3x2+5x)× cos(3x2+5x)/cos(3x2+5x)
⇒ −⅔ (6x+5) sin(3x2+5x)/cos(3x2+5x)×cos(3x2+5x)/cos⅓ (3x2+5x)
⇒ −⅔ (6x+5) tan(3x²+5x) cos⅔ (3x²+5x)
⇒ −⅔ (6x+5) tan(3x²+5x)3√cos2(3x2+5x)
f'(x) = ⅔cos-⅓(3x²+5x). −sin(3x²+5x) (6x+5)
⇒ −⅔ (6x+5) sin(3x2+5x)/cos⅓ (3x2+5x)
⇒ −⅔ (6x+5) sin(3x2+5x)/cos⅓ (3x2+5x)× cos(3x2+5x)/cos(3x2+5x)
⇒ −⅔ (6x+5) sin(3x2+5x)/cos(3x2+5x)×cos(3x2+5x)/cos⅓ (3x2+5x)
⇒ −⅔ (6x+5) tan(3x²+5x) cos⅔ (3x²+5x)
⇒ −⅔ (6x+5) tan(3x²+5x)3√cos2(3x2+5x)
Jawaban : D
6. 16. UN 2006
Turunan pertama dari f(x) = sin⁴(3x² − 2) adalah f '(x) = ...
A. 2sin²(3x² − 2) sin(6x² − 4)
B. 12x sin²(3x² − 2) sin(6x² − 4)
C. 12x sin²(3x² − 2) cos(6x² − 4)
D. 24x sin³(3x² − 2) cos²(3x² − 2)
E. 24x sin³(3x² − 2) cos(3x² − 2)
Turunan pertama dari f(x) = sin⁴(3x² − 2) adalah f '(x) = ...
A. 2sin²(3x² − 2) sin(6x² − 4)
B. 12x sin²(3x² − 2) sin(6x² − 4)
C. 12x sin²(3x² − 2) cos(6x² − 4)
D. 24x sin³(3x² − 2) cos²(3x² − 2)
E. 24x sin³(3x² − 2) cos(3x² − 2)
Pembahasan :
f(x) = sin⁴(3x² − 2)
f'(x) = 4 sin4-1(3x² − 2) cos(3x² − 2) 6x
f'(x) = 24x sin³(3x² − 2) cos(3x² − 2)
f(x) = sin⁴(3x² − 2)
f'(x) = 4 sin4-1(3x² − 2) cos(3x² − 2) 6x
f'(x) = 24x sin³(3x² − 2) cos(3x² − 2)
Jawaban : E
7. 17. UN 2007
Jika f(x) = sin2(2x + π/6), maka nilai dari f'(0) = ...
A. 2√3
B. 2
C. √3
D. 1/2√3
E. 1/2√2
Jika f(x) = sin2(2x + π/6), maka nilai dari f'(0) = ...
A. 2√3
B. 2
C. √3
D. 1/2√3
E. 1/2√2
Pembahasan :
f(x) = sin2(2x + π/6)f'(x) = 2 sin2-1(2x + π/6) cos(2x + π6) 2
f'(x) = 4 sin(2x + π/6) cos(2x + π/6)
f'(0) = 4 sin(2(0) + π/6) cos(2(0) + π/6)
f'(0) = 4 sin π/6cos π/6
f'(0) = 4. 1/2. 1/2√3
f'(0) = √3
f(x) = sin2(2x + π/6)f'(x) = 2 sin2-1(2x + π/6) cos(2x + π6) 2
f'(x) = 4 sin(2x + π/6) cos(2x + π/6)
f'(0) = 4 sin(2(0) + π/6) cos(2(0) + π/6)
f'(0) = 4 sin π/6cos π/6
f'(0) = 4. 1/2. 1/2√3
f'(0) = √3
Jawaban : C
8. 18. UN
2008
Turunan pertama dari y=sinx/sinx+cosx adalah y' = ...
A. cosx/(sinx+cosx)2
B. 1/(sinx+cosx)2
C. 2/(sinx+cosx)2
D. sinx−cosx/(sinx+cosx)2
E. 2sincosx/(sinx+cosx)2
Turunan pertama dari y=sinx/sinx+cosx adalah y' = ...
A. cosx/(sinx+cosx)2
B. 1/(sinx+cosx)2
C. 2/(sinx+cosx)2
D. sinx−cosx/(sinx+cosx)2
E. 2sincosx/(sinx+cosx)2
Pembahasan :
u = sin x → u' = cos x
v = sin x + cos x → v' = cos x − sin x
y' = u′v−uv′/v2
y' = cosx(sinx+cosx)−sinx(cosx−sinx)/(sinx+cosx)2
y' = cosxsinx+cos2x−cosxsinx+sin2x/(sinx+cosx)2
y' = sin2x+cos2x/(sinx+cosx)2
y' = 1/(sinx+cosx)2
u = sin x → u' = cos x
v = sin x + cos x → v' = cos x − sin x
y' = u′v−uv′/v2
y' = cosx(sinx+cosx)−sinx(cosx−sinx)/(sinx+cosx)2
y' = cosxsinx+cos2x−cosxsinx+sin2x/(sinx+cosx)2
y' = sin2x+cos2x/(sinx+cosx)2
y' = 1/(sinx+cosx)2
Jawaban : B
9. 19. UN 2008
Diketahui f(x) = x2+3/2x+1. Jika f'(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2 f'(0) = ...
A. −10
B. −9
C. −7
D. −5
E. −3
Diketahui f(x) = x2+3/2x+1. Jika f'(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2 f'(0) = ...
A. −10
B. −9
C. −7
D. −5
E. −3
Pembahasan :
f(x) = x2+3/2x+1
f(0) = 02+3/2.0+1
f(0) = 3
u = x2 + 3 → u' = 2x
v = 2x + 1 → v' = 2
f'(x) = u′v−uv′/v2
f'(x) = 2x(2x+1)−(x2+3)2/2x+1)2
f'(x) = 4x2+2x−2x2−6/(2x+1)2
f'(x) = 2x2+2x−6/(2x+1)2
f'(0) = 2(0)2+2(0)−6/(2(0)+1)2
f'(0) = −6
Jadi, f(0) + 2 f'(0) = 3 + 2(−6) = −9
f(0) = 02+3/2.0+1
f(0) = 3
u = x2 + 3 → u' = 2x
v = 2x + 1 → v' = 2
f'(x) = u′v−uv′/v2
f'(x) = 2x(2x+1)−(x2+3)2/2x+1)2
f'(x) = 4x2+2x−2x2−6/(2x+1)2
f'(x) = 2x2+2x−6/(2x+1)2
f'(0) = 2(0)2+2(0)−6/(2(0)+1)2
f'(0) = −6
Jadi, f(0) + 2 f'(0) = 3 + 2(−6) = −9
Jawaban : B
120. UN
2014
Diketahui g(x)=⅓x3−A2x+1 ; f(x)=g(2x−1), A suatu kontanta. Jika f naik pada x≤0 atau x≥1, nilai maksimum relatif g adalah...
A. 7/3
B. 5/3
C. ⅓
D. −⅓
E. −5/3
Diketahui g(x)=⅓x3−A2x+1 ; f(x)=g(2x−1), A suatu kontanta. Jika f naik pada x≤0 atau x≥1, nilai maksimum relatif g adalah...
A. 7/3
B. 5/3
C. ⅓
D. −⅓
E. −5/3
Pembahasan :
g(x) = ⅓x3 − A2x + 1
f(x) = g(2x − 1)
f(x) = ⅓ (2x − 1)3 − A2(2x − 1) + 1
f(x) = ⅓(2x − 1)3 − 2A2x + A2 + 1
f'(x) = ⅓. 3(2x − 1)3-1. 2 − 2A2
f'(x) = 2(2x − 1)2 − 2A2
f'(x) = 8x2 − 8x + 2 − 2A2
Karena f(x) naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, maka 0 dan 1 adalah akar-akar dari f'(x) = 0.
x1 x2 = c/a
0. 1 = 2−2A2/8
0 = 2 − 2A2
A2 = 1
diperoleh
g(x) = ⅓x3 − x + 1
g'(x) = x2 – 1
g''(x) = 2x
Jika g'(a) = 0, maka nilai maks/min relatif fungsi g akan terjadi pada x = a.
g'(x) = 0
x2 − 1 = 0
(x + 1)(x − 1) = 0
x = −1 atau x = 1
Uji turunan kedua
g''(a) < 0, maka g(x) mencapai maksimum relatif pada x = a.
g''(a) > 0, maka g(x) mencapai minimum relatif pada x = a.
g''(−1) = 2(−1) = −2 < 0
g''(1) = 2(1) = 2 > 0
Karena g''(−1) < 0, maka nilai maksimum relatif g dicapai pada x = −1
g(−1) = ⅓ (−1)3 − (−1) + 1
g(−1) = 5/3
f(x) = g(2x − 1)
f(x) = ⅓ (2x − 1)3 − A2(2x − 1) + 1
f(x) = ⅓(2x − 1)3 − 2A2x + A2 + 1
f'(x) = ⅓. 3(2x − 1)3-1. 2 − 2A2
f'(x) = 2(2x − 1)2 − 2A2
f'(x) = 8x2 − 8x + 2 − 2A2
Karena f(x) naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, maka 0 dan 1 adalah akar-akar dari f'(x) = 0.
x1 x2 = c/a
0. 1 = 2−2A2/8
0 = 2 − 2A2
A2 = 1
diperoleh
g(x) = ⅓x3 − x + 1
g'(x) = x2 – 1
g''(x) = 2x
Jika g'(a) = 0, maka nilai maks/min relatif fungsi g akan terjadi pada x = a.
g'(x) = 0
x2 − 1 = 0
(x + 1)(x − 1) = 0
x = −1 atau x = 1
Uji turunan kedua
g''(a) < 0, maka g(x) mencapai maksimum relatif pada x = a.
g''(a) > 0, maka g(x) mencapai minimum relatif pada x = a.
g''(−1) = 2(−1) = −2 < 0
g''(1) = 2(1) = 2 > 0
Karena g''(−1) < 0, maka nilai maksimum relatif g dicapai pada x = −1
g(−1) = ⅓ (−1)3 − (−1) + 1
g(−1) = 5/3
Jawaban : B
Bisa belajar lagi soal turunan nih
ReplyDeletenice gan
ReplyDelete